Question

9．已知数列{a_n}中a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2+a_n=2a_n+1．
（1）则数列{a_n}的通项公式为a_n=-2n+10；
（2）设S_n是数列{|a_n|}的前n项和，则S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）先根据定义得到数列是等差数列，然后根据通项公式的基本元素得到结论．
（2）令a_n≥0，得n≤5，即当n≤5时a_n≥0，n≥6时a_n＜0，需要分类讨论得到和式

解答 解：（1）数列{a_n}中a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2+a_n=2a_n+1
可知数列是等差数列，公差d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{1}}{4-1}$=$\frac{2-8}{4-1}$=-2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=-2n+10   
即：a_n=-2n+10．  
（2）a_n=-2n+10，n∈N^*．
a_n=-2n+10≥0，解得n≤5，
a₅=-2×5+10=0，a₆=-2×6+10=-2＜0，
∴当n≤5时，S_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}•n$=-n²+10n．
S₅=25．
当n≥6时，T_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇-…-a_n=-S_n+2S₅=n²-10n+50．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．
故答案为：（1）a_n=-2n+10．
（2）$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

点评 本试题主要是考查了等差数列的判断，通项公式以及数列求和的综合运用．