Question

14．已知二次函数f（x）=ax²+（a-1）x+a．
（1）若a=2，求函数f（x）在区间[-1，1]上最大值；
（2）关于x的不等式$\frac{f（x）}{x}$≥2在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得二次函数的对称轴，及端点处的函数值，可得最大值；
（2）由题意可得h（x）=$\frac{f（x）}{x}$在x∈[1，2]时的最小值大于或等于2，得到a的不等式组，求解即可得到所求范围．

解答 解：（1）若a=2，则f（x）=ax²+（a-1）x+a=2x²+x+2，x∈[-1，1]，
对称轴为x=-$\frac{1}{4}$，f（-1）=3，f（1）=5，
∴f（x）_max=5；
（2）设h（x）=$\frac{f（x）}{x}$=a（x+$\frac{1}{x}$）+a-1，
当x∈[1，2]时，x+$\frac{1}{x}$∈[2，$\frac{5}{2}$]，
∵不等式$\frac{f（x）}{x}$≥2在x∈[1，2]上恒成立，
∴h（x）在x∈[1，2]时的最小值大于或等于2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2a+a-1≥2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{5}{2}a+a-1≥2}\end{array}\right.$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a≥\frac{6}{7}}\end{array}\right.$，
解得a≥1．

点评 本题考查函数的最值的求法和不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离的方法，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．