Question

2．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=$\sqrt{6}$，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，M，N分别为BC和PB的中点．．
（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PMA；
（Ⅱ）求二面角N-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，推导出AM⊥BC，PA⊥BC，从而BC⊥平面PMA，由此能证明平面PBC⊥平面PMA．
（Ⅱ）设AC，BD交于点O，过O作OZ∥AP，以点O为坐标原点，分别以AC，BD，OZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角N-AD-B的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵M是BC中点，∴AM⊥BC，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，在平面PMA中AM∩PA=A
∴BC⊥平面PMA，
∴平面PBC⊥平面PMA．…（6分）
解：（Ⅱ）设AC，BD交于点O，过O作OZ∥AP，
以点O为坐标原点，分别以AC，BD，OZ所在直线为x轴，y轴，z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，
∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，得AC=2，$BD=2\sqrt{3}$，$PA=\sqrt{6}$，
∴$A（{-1，0，0}），B（{0，-\sqrt{3}，0}），D（{0，\sqrt{3}，0}），P（{-1，0，\sqrt{6}}）$
∵N是PB的中点，∴$N（{-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}}）$，
∵PA⊥平面ABCD，∴平面ABD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设平面AND的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
∵$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{6}}{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AN}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x_1}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{y_1}+\frac{{\sqrt{6}}}{2}{z_1}=0\;}\\{{x_1}+\sqrt{3}{y_1}=0}\end{array}}\right.$，
令y₁=1，得${x_1}=-\sqrt{3}$，${z_1}=\sqrt{2}$，∴${n_2}=（-\sqrt{3}，1，\sqrt{2}）$，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由图知二面角N-AD-B的平面角为锐角，
∴二面角N-AD-B的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．