Question

10．求证：关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1．

Answer 1

分析 通过讨论a的范围结合二次函数的性质分别证明其充分性和必要性即可．

解答 证明：充分性：当a=0时，2x+1=0，其根为x=-$\frac{1}{2}$，方程有一个负根，符合题意，
当a＜0时，△=4-4a＞0，方程ax²+2x+1=0有2个不相等的实数根，且两根之积为$\frac{1}{a}$＜0，
方程两根一正一负，符合题意，
当0＜a≤1时，△=4-4a≥0，方程ax²+2x+1=0有实数根且$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{a}＜0}\\{\frac{1}{a}＞0}\end{array}\right.$，
故方程两根均为负，符合题意，
综上知，当a≤1时，方程ax²+2x+1=0至少有一个负根，
必要性：若方程ax²+2x+1=0至少有一个负根，
当a=0时，方程2x+1=0符合题意，
当a≠0时，方程ax²+2x+1=0应有一正根一负根或两个负根，
则$\frac{1}{a}$＜0或$\left\{\begin{array}{l}{△=4-4a≥0}\\{-\frac{2}{a}＜0}\\{\frac{1}{a}＞0}\end{array}\right.$，解得a＜0或0＜a≤1，
综上知：方程ax²+2x+1=0至少有一负根，则a≤1，
故方程ax²+2x+1=0至少有一负根的充要条件是a≤1．

点评 本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道中档题．