Question

1．等差数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，a₂S₃=75且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{a_n}为递增数列，求证：$\frac{1}{3}$≤$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+…+\frac{1}{{S}_{n}}$$＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d（d≥0），由已知列式求得首项和公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）由（Ⅰ）求出等差数列的通项公式，进一步求得前n项和，取倒数后利用裂项相消法求出数列前n项和的倒数和，即可证得不等式右边，再由数列的函数特性证明左边得答案．

解答 （1）解：设数列{a_n}的公差为d（d≥0），由已知，
则有$\left\{{\begin{array}{l}{3{a_2}^2=75}\\{{a_1}{a_{13}}={a_4}^2}\end{array}}\right.$，∵a_n＞0，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_2}=5}\\{{a_1}{a_{13}}={a_4}^2}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+d=5}\\{{a_1}（{{a_1}+12d}）={{（{{a_1}+3d}）}^2}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=5}\\{d=0}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=3}\\{d=2}\end{array}}\right.$．
a_n=5或a_n=2n+1；
（2）∵数列{a_n}为递增数列，∴由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
∴${S}_{n}=3n+\frac{n（n-1）}{2}×2=n（n+2）$，n∈N^*，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+…+\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}）+\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$$+…+\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}[（1+\frac{1}{2}）-（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）]=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$$＜\frac{3}{4}$，
记${T}_{n}=\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+…+\frac{1}{{S}_{n}}$
由$\frac{1}{{S}_{n}}＞0$，则T_n关于n递增．
∴${T}_{n}＞{T}_{1}=\frac{1}{{S}_{1}}=\frac{1}{3}$．
综上可得：$\frac{1}{3}$≤$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+…+\frac{1}{{S}_{n}}$$＜\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，训练了利用数列的函数特性求最值，是中档题．