Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)，
（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；
（2）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（3）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数，再根据x=1是f（x）的极值点得到：“f′（1）=0”，从而求得a值；
（2）先根据切线方程为x+y-3=0利用导数的几何意义求出a值，再研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值．
（3）由题意得：函数f（x）在区间（-1，1）不单调，所以函数f′（x）在（-1，1）上存在零点．再利用函数的零点的存在性定理得：f′（-1）f′（1）＜0．由此不等式即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=x²-2ax+a²-1
∵x=1是f（x）的极值点，
∴f′（1）=0，即a²-2a=0，解得a=0或2；（3分）
（2）∵（1，f（1））在x+y-3=0上．∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）上，∴2=

1

3

-a+a2-1+b又f′（1）=-1，
∴1-2a+a²-1=-1∴a²-2a+1=0，
解得a=1，b=

8

3

∴f(x)=

1

3

x2-x2+

8

3

，f′(x)=x2-2x
由f′（x）=0可知x=0和x=2是极值点．
∵f(0)=

8

3

，f(2)=

4

3

，f(-2)=-4，f(4)=8
∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8．（8分）
（3）因为函数f（x）在区间（-1，1）不单调，
所以函数f′（x）在（-1，1）上存在零点．
而f′（x）=0的两根为a-1，a+1，区间长为2，
∴在区间（-1，1）上不可能有2个零点．
所以f′（-1）f′（1）＜0，∵a²＞0，
∴（a+2）（a-2）＜0，-2＜a＜2．
又∵a≠0，∴a∈（-2，0）∪（0，2）．（12分）

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、函数在某点取得极值的条件等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．