【题目】已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD,ABCD是等腰梯形,AB∥DC,AB=2,AD=1,∠ABC=60°,E为A1C的中点
(1)求证:D1E∥平面BB1C1C;
(2)求证:BC⊥A1C;
(3)若A1A=AB,求二面角A1﹣AC﹣B1的余弦值.
【答案】
(1)证明:取A1B1中点F,连结D1F,EF,B1C,
∵EF是△A1CB1的中位线,∴EF∥CB1,
∵AB∥DC,∴A1B1∥D1C1,
又∵AB=2,AD=1,∠ABC=60°,∴D1C1=1,
∴D1C1=FB1,∴四边形D1C1B1F为平行四边形,∴D1F∥C1B1,
又∵EF∩D1F=F,CB1∩C1B1=B1,
∴平面D1EF∥平面BB1C1C,
又∵D1E平面D1EF,∴D1E∥平面BB1C1C.
(2)证明:以A为坐标原点,直线AB、AA1分别为y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
设AA1=a,则B(0,2,0),C( , ,0),A1(0,0,a),
=( ), =( ),
∵ = ,
∴BC⊥A1C.
(3)解:∵A1A=AB=2,
∴A(0,0,0),B1(0,2,2),C( ,0),A1(0,0,2),
∴ =( ,0), =(0,0,2), =(0,2,2),
设 =(x,y,z)是平面A1AC的法向量,
则 ,取y=1,得 =(﹣ ,1,0),
设 是平面AB1C的法向量,
则 ,取c=1,得 =( ),
设二面角A1﹣AC﹣B1的平面角为θ,
则cosθ=|cos< >|= = = ,
∴二面角A1﹣AC﹣B1的余弦值为 .
【解析】(1)取A1B1中点F,连结D1F,EF,B1C,由中位线定理,得EF∥CB1 , 从而得到四边形D1C1B1F为平行四边形,进而平面D1EF∥平面BB1C1C,由此能证明D1E∥平面BB1C1C.(2)以A为坐标原点,直线AB、AA1分别为y轴、z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明BC⊥A1C.(Ⅲ)求出平面A1AC的法向量和平面AB1C的法向量,利用向量法能求出二面角A1﹣AC﹣B1的余弦值.
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本,需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在极坐标系中,已知三点O(0,0),A(2, ),B(2 , ).
(1)求经过O,A,B的圆C1的极坐标方程;
(2)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆C2的参数方程为 (θ是参数),若圆C1与圆C2外切,求实数a的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】函数,且在处的切线斜率为.
(1)求的值,并讨论在上的单调性;
(2)设函数 ,其中,若对任意的总存在,使得成立,求的取值范围
(3)已知函数,试判断在内零点的个数.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶,然后以每瓶7元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的鲜牛奶作垃圾处理.
(1)若鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量(单位:瓶,)的函数解析式;
(2)鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量(单位:瓶),绘制出如下的柱形图(例如:日需求量为25瓶时,频数为5);
(i)若该鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
(ii) 若该鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于100元的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=emx+x2﹣mx(m∈R).
(1)当m=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若m<0,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+(e+1)y=0垂直.
(i)当x>0时,试比较f(x)与f(﹣x)的大小;
(ii)若对任意x1 , x2(x1≠x2),且f(x1)=f(x2),证明:x1+x2<0.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=x4lnx﹣a(x4﹣1),a∈R.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若当x≥1时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(3)f(x)的极小值为φ(a),当a>0时,求证: .(e=2.71828…为自然对数的底)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某城市实施了机动车尾号限行,该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75] |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 6 | 9 | 6 | 3 | 4 |
(Ⅰ)请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值;
(Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅲ)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷,记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数,求使概率取得最大值的整数.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com