Question

若sinα+cosβ=

1

3

，cosα-sinβ=

1

2

，则tan

α+β

2

=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的和差化积公式

专题：三角函数的求值

分析：通过已知条件求出通过两式的和与差，利用和差化积得到的表达式，相除即可得到tan

α+β

2

，求解即可．

解答： 解：sinα+cosβ=

1

3

①，
cosα-sinβ=

1

2

②，
①+②得 sinα-sinβ+cosα+cosβ=

5

6

，可得2cos

α+β

2

（sin

α-β

2

+cos

α-β

2

）=

5

6

．
①-②得sinα+sinβ-cosα+cosβ=-

1

6

，可得2sin

α+β

2

（sin

α-β

2

+cos

α-β

2

）=-

1

6

．
两式相除可得
∴tan

α+β

2

=-

1

5

故答案为：-

1

5

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式，考查计算能力，转化思想的应用．