Question

6．函数y=$\frac{2{x}^{2}+3}{{x}^{2}-1}$的值域为（-∞，-3]∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 先将原函数变成$y=2+\frac{5}{{x}^{2}-1}$，从而可由x²-1≥-1得到，-1≤x²-1＜0，或x²-1＞0，这样即可得出$\frac{1}{{x}^{2}-1}$的范围，从而得到y的范围，即求得原函数的值域．

解答 解：$y=\frac{2（{x}^{2}-1）+5}{{x}^{2}-1}=2+\frac{5}{{x}^{2}-1}$；
∵x²-1≥-1；
∴-1≤x²-1＜0，或x²-1＞0；
∴$\frac{1}{{x}^{2}-1}≤-1$，或$\frac{1}{{x}^{2}-1}＞0$；
∴y≤-3，或y＞2；
∴原函数的值域为（-∞，-3]∪（2，+∞）．
故答案为：（-∞，-3]∪（2，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，分离常数法求函数值域，以及不等式的性质．