Question

已知函数f（x）=2+

1

a

-

1

a2x

，实数a≠0，若不等式|a² f（x）|≤2x，x＞1恒成立，求a的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：不等式的解法及应用

分析：先将f（x）代入化简，利用绝对值的几何意义去绝对值符号，转化恒成立问题处理

解答： 解：将f（x）=2+

1

a

-

1

a2x

代入得 a²f（x）=2a²+a-

1

x

，
则原不等式为|2a²+a-

1

x

|≤2x（x＞1）恒成立，
由绝对值的几何意义得

1

x

-2x≤2a²+a≤

1

x

+2x，
当x＞1时，（

1

x

-2x）′=-

1

x2

-2＜0，单调递减，x=1时取得最大值，则

1

x

-2x＜-1，
（

1

x

+2x）′=-

1

x2

+2=

2x2-1

x2

＞0，单调递增，x=1时取得最小值，则

1

x

+2x＞3，
则-1≤2a²+a≤3
解之，得-

3

2

≤a≤1．

点评：恒成立问题转化为求最值，要利用导数，不可使用基本不等式，因为不满足使用条件“取相等“，再综合不等式解法．