Question

已知向量

a

=（0，-1），向量

b

=（cosx，2cos²（

π

3

-

x

2

）），其中0＜x＜

2π

3

，试求|

a

+

b

|的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：利用向量的坐标运算和模的计算公式、两角和差的余弦公式及其倍角公式、余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵向量

a

=（0，-1），向量

b

=（cosx，2cos²（

π

3

-

x

2

）），
∴

a

+

b

=(cosx，2cos2(

π

3

-

x

2

)-1)=(cosx，cos(

2π

3

-x))．
∴|

a

+

b

|2=cos²x+cos2(

2π

3

-x)
=

1+cos2x

2

+

1+cos( 4π 3 -2x)

2

=1+

1

2

[cos2x-cos(

π

3

-2x)]=1+

1

2

[cos2x-

1

2

cos2x-

3

2

sin2x]=1+

1

2

cos(2x+

π

3

)
∵0＜x＜

2π

3

，∴

π

3

＜2x+

π

3

＜

5π

3

，
∴-1≤cos(2x+

π

3

)＜

1

2

，∴

1

2

≤|

a

+

b

|2＜

5

4

，∴

2

2

≤|

a

+

b

|＜

5

2

．

点评：本题考查了向量的坐标运算和模的计算公式、两角和差的余弦公式及其倍角公式、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于基础题．