给定方程:()x+sinx﹣1=0,下列命题中:
①该方程没有小于0的实数解;
②该方程有无数个实数解;
③该方程在(﹣∞,0)内有且只有一个实数解;
④若x0是该方程的实数解,则x0>﹣1.
则正确命题是 .
②③④
解析试题分析:对于①,若α是方程()x+sinx﹣1=0的一个解,
则满足()α=1﹣sinα,当α为第三、四象限角时()α>1,
此时α<0,因此该方程存在小于0的实数解,得①不正确;
对于②,原方程等价于()x﹣1=﹣sinx,
当x≥0时,﹣1<()x﹣1≤0,而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1
且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1,
因此函数y=()x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0,+∞)上有无穷多个交点
因此方程()x+sinx﹣1=0有无数个实数解,故②正确;
对于③,当x<0时,
由于x≤﹣1时()x﹣1≥1,函数y=()x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点
当﹣1<x<0时,存在唯一的x满足()x=1﹣sinx,
因此该方程在(﹣∞,0)内有且只有一个实数解,得③正确;
对于④,由上面的分析知,
当x≤﹣1时()x﹣1≥1,而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解
∴函数y=()x﹣1与y=﹣sinx的图象在(﹣∞,﹣1]上不可能有交点
因此只要x0是该方程的实数解,则x0>﹣1.
考点:命题的真假判断与应用
点评:本题给出含有指数式和三角函数式的方程,讨论方程解的情况.着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识,属于中档题
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
某出租车公司规定乘车收费标准如下:3 km以内为起步价8元(即行程不超过3 km,一律收费8元);若超过3 km,除起步价外,超过的部分再按1.5元/km计价;若司机再与某乘客约定按四舍五入以元计费不找零钱.已知该乘客下车时乘车里程数为7.4 km,则该乘客应付的车费为________.
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
函数的定义域为,若且时总有,则称为单函
数.例如,函数是单函数.下列命题:①函数是单函数;②函数是单函数;③若为单函数,且,则;④函数在定义域内某个区间上具有单调性,则一定是单函数.其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).
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