Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1．(a＞b＞0)，其中短轴长和焦距相等，且过点M(2，

2

)．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P（x₀，y₀）在椭圆C的外部，过P做椭圆的两条切线PM、PN，其中M、N为切点，则MN的方程为

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．已知点P在直线x+y-4=0上，试求椭圆右焦点F到直线MN的距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x 2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由

x2

2b2

+

y2

b2

=1，过点M（2，

2

），能导出椭圆方程．
（2）设P（x₀，y₀），则即x₀=4-y₀，因x+y-4=0与椭圆无交点，所以P在椭圆C的外部，MN所在直线方程为

x0x

8

+

y0y

4

=1，由此能求出椭圆右焦点F到直线MN的距离的最小值．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x 2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵

x2

2b2

+

y2

b2

=1，过点M（2，

2

），
∴

4

2b2

+

2

b2

=1，
∴b=2，a=2

2

，
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）设P（x₀，y₀），则x₀+y₀-4=0，即x₀=4-y₀，
∵x+y-4=0与椭圆无交点，∴P在椭圆C的外部，
∴MN所在直线方程为

x0x

8

+

y0y

4

=1，
即x₀x+2y₀y-8=0，
设所求距离为d，且F（2，0），
则d=

|2x0-8|

x02+4y02

=

|2y0|

5y02-8y0+16

=

2

16 y0 2 - 8 y 0  +5

=

2

( 4 y0 -1)2+4

，
∴当y₀=4时，d_min=1．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．