Question

3．求关于x的二次函数y=x²-2x+2在t≤x≤t+1上的最小值（t为常数）．

Answer 1

分析 先求二次函数图象的对称轴，因为开口向上，因此求最大值要分对称轴在区间[t，t+1]内，左侧，右侧三种情况讨论，分别求出最大值后要以分段函数的形式表达．

解答 解：二次函数y=x²-2x+2的图象是开口向上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
当t+1＜1，即t＜0时，函数在[t，t+1]上为减函数，当x=t+1时，函数最小值为：（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1；
当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数在[t，1]上为减函数，在[1，t+1]上为增函数，当x=1时，函数最小值为：1；
当t＞1时，函数在[t，t+1]上为增函数，当x=t时，函数最小值为：t²-2t+2；
综上所述二次函数y=x²-2x+2在t≤x≤t+1上的最小值为$\left\{\begin{array}{l}{t}^{2}+1，t＜0\\ 1，0≤t≤1\\{t}^{2}-2t+2，t＞1\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．