Question

13．已知三点A（1，1）、B（5，3）、C（2，5）．
（1）求直线AB上的中线l及AC边上的高所在的直线方程；
（2）设M是直线x+y-3=0上任意一点，求|MA|-|MB|取最大值时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由AB边的中点为（3，2），利用两点式求出AB边上的中线所在直线的方程；由${k}_{AC}=\frac{5-1}{2-1}=4$，知AC边上的高所在直线的斜率k=-$\frac{1}{4}$，由此利用点斜式方程求出AC边上的高所在直线的方程；
（2）找B（5，3）关于直线x+y-3=0的对称点B′，求出过A、B′的直线方程，再与直线x+y-3=0联立求得M点的坐标．

解答 解：（1）∵AB边的中点为（3，2），
∴AB边上的中线所在的直线方程为$\frac{y-2}{5-2}=\frac{x-3}{2-3}$，
整理，得3x+y-11=0．
∵A（1，1）、B（5，3）、C（2，5），
∴${k}_{AC}=\frac{5-1}{2-1}=4$，∴AC边上的高所在直线的斜率k=-$\frac{1}{4}$，
∴AC边上的高所在直线的方程为y-3=-$\frac{1}{4}$（x-5），
整理，得x+4y-17=0；
（2）如图，设B（5，3）关于直线x+y-3=0的对称点B′（x₁，y₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+5}{2}+\frac{{y}_{1}+3}{2}-3=0}\\{\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}-5}=1}\end{array}\right.$，解得：B′（0，-2）．
∴过A、B′的直线方程为$\frac{y-1}{-2-1}=\frac{x-1}{0-1}$，即3x-y-2=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2=0}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{4}}\\{y=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$．
∴|MA|-|MB|取最大值时点M的坐标为（$\frac{5}{4}，\frac{7}{4}$）．

点评 本题考查利用直线的点斜式方程求解直线方程，考查了数学转化思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．