Question

8．不等式（k²-1）x²+2（k+1）x-1＜0对任意实数x都成立，求实数k取值范围．

Answer 1

分析 根据题意，分2种情况讨论：1°若k²-1=0，则k=±1，分别验证k=1或-1时，是否能保证该不等式满足对任意实数x都成立，
2°若k²-1≠0，不等式（k²-1）x²+2（k+1）x-1＜0为二次不等式，分析可得有$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}-1＜0}\\{△=4（k+1）^{2}+4（{k}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，解可得此时k的范围，综合可得答案．

解答 解：根据题意，分2种情况讨论：
1°若k²-1=0，则k=±1，
当k=1时，不等式（k²-1）x²+2（k+1）x-1＜0为4x-1＜0，不能满足对任意实数x都成立，则k=1不满足题意，
当k=-1时，不等式（k²-1）x²+2（k+1）x-1＜0为-1＜0，对任意实数x都成立，则k=1满足题意，
2°若k²-1≠0，不等式（k²-1）x²+2（k+1）x-1＜0为二次不等式，
要保证（k²-1）x²+2（k+1）x-1＜0对任意实数x都成立，必须有$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}-1＜0}\\{△=4（k+1）^{2}+4（{k}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，
解可得-1＜k＜0，
综合可得-1≤k＜0，
故实数k取值范围为[-1，0）．

点评 本题考查函数的恒成立问题，涉及二次函数的性质，注意要讨论二次项的系数．