Question

16．已知二次函数y=ax²+bx+c同时满足下列条件：（1）对称轴x=1；（2）最大值为15；（3）二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的立方和为17．求此二次函数的解析式．

Answer 1

分析 先根据二次函数的对称轴及最大值得到b=-2a，c=a+15，从而原函数变成y=ax²-2ax+a+15．可设方程ax²-2ax+a+15=0的两个实根分别为x₁，x₂，从而根据韦达定理得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2}\\{{x}_{1}{x}_{2}=a+15}\end{array}\right.$，再根据${{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=17$即可求出a，从而得出二次函数解析式．

解答 解：由条件（1）（2）得：
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=1}\\{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=15}\end{array}\right.$；
∴b=-2a，c=a+15；
∴y=ax²-2ax+a+15，设ax²-2ax+a+15=0的两根为x₁，x₂；
则根据韦达定理：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{a+15}{a}}\end{array}\right.$；
根据条件（3），$17={{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-3{x}_{1}{x}_{2}]$=$2（4-\frac{3a+45}{a}）$；
∴解得a=-6；
∴y=-6x²+12x+9．

点评 考查二次函数的对称轴及最大值的计算公式，立方和及完全平方公式，以及韦达定理．