Question

7．若函数f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0且a≠1），且在区间（0，a）上恒有f（x）＞0，则a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$]
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （1，2）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 根据题意，令t=2x²+x，x∈（0，a），则y=log_at，由对数函数的定义对a分2种情况讨论：1、a＞1时，2、0＜a＜1时，每种情况下由复合函数的单调性分析函数f（x）=log_a（2x²+x）的单调性，求出满足f（x）＞0时a的取值范围，综合2种情况即可得答案．

解答 解：根据题意，令t=2x²+x，x∈（0，a），则y=log_at，
分2种情况讨论：
1、a＞1时，t=2x²+x在（0，a）为增函数，其t的取值范围是（0，2a²+a）
而y=log_at也是增函数，
则函数f（x）=log_a（2x²+x）在区间（0，a）上也是增函数，
分析可得不能满足在区间（0，a）上恒有f（x）＞0，
则a＞1不满足题意，
2、0＜a＜1时，t=2x²+x在（0，a）为增函数，其t的取值范围是（0，2a²+a）
而y=log_at是减函数，
则函数f（x）=log_a（2x²+x）在区间（0，a）上是减函数，
要满足在区间（0，a）上恒有f（x）＞0，必有log_a（2a²+a）≥0，
即log_a（2a²+a）≥log_a1，
即2a²+a≤1，
解可得-1≤a≤$\frac{1}{2}$，
又由0＜a＜1，则此时a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]；
综合可得a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]；
故选：A．

点评 本题考查函数的恒成立问题，涉及对数函数的性质，注意满足对数函数的定义域的要求．