Question

18．已知$\overrightarrow{a}$=（1，t），$\overrightarrow{b}$（3t，2），求$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 进行向量的坐标运算，先求出$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}}=\frac{5t}{10{t}^{2}+5}$，可设y=$\frac{5t}{10{t}^{2}+5}$，这样来求y的范围，讨论t=0和t≠0：t=0，便得到y=0，而t≠0时，可得到y=$\frac{5}{10t+\frac{5}{t}}$，这样利用基本不等式即可求出y的范围，从而得出答案．

解答 解：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}}=\frac{5t}{1+{t}^{2}+9{t}^{2}+4}$=$\frac{5t}{10{t}^{2}+5}$；
设y=$\frac{5t}{10{t}^{2}+5}$；
①若t=0，y=0；
②若t≠0，则y=$\frac{5}{10t+\frac{5}{t}}$；
1）t＞0时，$10t+\frac{5}{t}≥10\sqrt{2}$，当$10t=\frac{5}{t}$，即t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取“=”；
∴$0＜y≤\frac{\sqrt{2}}{20}$；
2）t＜0时，10t$+\frac{5}{t}$=$-[（-10t）+\frac{5}{-t}]≤-10\sqrt{2}$，当t=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$时取“=”；
∴$-\frac{\sqrt{2}}{20}≤y＜0$；
∴综上得，$-\frac{\sqrt{2}}{20}≤y≤\frac{\sqrt{2}}{20}$；
∴$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}}$的取值范围为：[$-\frac{\sqrt{2}}{20}$，$\frac{\sqrt{2}}{20}$]．

点评 考查数量积的坐标运算，由向量坐标求向量长度，以及基本不等式的运用，注意基本不等式成立的条件，不要漏了t=0的情况．