Question

11．已知命题p：方程ax²+ax-2=0在[-1，1]上只有一个解；命题q：只有一个实数x满足x²+2ax+2a≤0．若命题“p∨q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 对方程a²x²+ax-2=0进行因式分解是解决该题的关键，得出方程的根（用a表示出）．在[-1，1]上只有一个解，得出关于a的不等式，求出命题p为真的a的范围，利用x²+2ax+2a≤0相应的二次方程的判别式等于0得出关于a的方程，求出a，再根据“p或q”是假命题得出a的范围．

解答 解：由题意a≠0．
若p正确，a²x²+ax-2=（ax+2）（ax-1）=0的解为$\frac{1}{a}$或-$\frac{2}{a}$，
若方程在[-1，1]上有解，只需满足|$\frac{1}{a}$|≤1且|-$\frac{2}{a}$|＞1，
解得a∈（-2，-1]∪[1，2），
故p错误时：a∈（-∞，-2]∪（-1，1）∪[2，+∞），
若q正确，即只有一个实数x满足x²+2ax+2a≤0，
则有△=4a²-8a=0，即a=0或2，
故q错误时，a∈（-∞，0）∪（0，2）∪（2，+∞）
若p或q是假命题，则p和q都是假命题，
综上所述：a∈（-∞，-2）∪（-1，0）∪（0，1）∪（2，+∞），
所以a的取值范围是：（-∞，-2）∪（-1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）

点评 本题考查命题真假的判断，利用因式分解求出方程的根是解决本题的关键，再根据一元二次不等式与二次方程的关系转化相应的不等式问题，考查学生的等价转化思想，考查学生对复合命题真假的判断准则．