(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点.若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ;
(1) S=|OA||y|=.(2)见解析。
【解析】(1)先把双曲线的方程化成标准方程可求出a值,从而得到左顶点A,渐近线方程:y=±x,然后可设出过点A与渐近线y=x平行的直线方程为y=,即y=x+1.它再与另一条渐近线方程联立解方程组可求出交点坐标,从而得到所求三角形的高,度显然等于|OA|,面积得解.
(2) 设直线PQ的方程是y=x+b,因直线PQ与已知圆相切,
故=1,即b2=2.
由得x2-2bx-b2-1=0(*)
设P(x1,y1)、Q(x2,y2),然后证·=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2,借助(*)式方程中的韦达定理代入此式证明·=0即可.
(1)双曲线C1:-y2=1,左顶点A,渐近线方程:y=±x.
过点A与渐近线y=x平行的直线方程为y=,即y=x+1.
解方程组得
所以所求三角形的面积为S=|OA||y|=.
(2)设直线PQ的方程是y=x+b,因直线PQ与已知圆相切,
故=1,即b2=2.
由得x2-2bx-b2-1=0.
设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则
又y1y2=(x1+b)(x2+b),所以
·=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2
=2(-1-b2)+2b2+b2=b2-2=0.
故OP⊥OQ.
科目:高中数学 来源: 题型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(2009湖南卷文)(本小题满分12分)
为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求:
(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分12分)
某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2,
(注:利润与投资单位是万元)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入到A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元.
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