【题目】已知为坐标原点,直线的方程为,点是抛物线上到直线距离最小的点,点是抛物线上异于点的点,直线与直线交于点,过点与轴平行的直线与抛物线交于点.
(1)求点的坐标;
(2)求证:直线恒过定点;
(3)在(2)的条件下过向轴做垂线,垂足为,求的最小值.
【答案】(1)此时点坐标为.(2)直线恒过定点.(3)4.
【解析】试题分析:(1)设点的坐标为,根据题意点是抛物线上到直线距离最小的点,代入点到直线的距离公式进行求解(2)设点的坐标为根据题意当求得,当时求得点的坐标为,给出直线方程,求恒过点坐标(3)转化面积为然后计算即可求得结果
解析:(1)设点的坐标为,则
所以,点到直线的距离.
当且仅当时等号成立,此时点坐标为.
(2)设点的坐标为,显然.
当, 点坐标为,直线的方程为;可得,直线;
当时,直线的方程为,
化简得;
综上,直线的方程为
与直线的方程联立,可得点的纵坐标为
因为, 轴,所以点的坐标为.
因此, 点的坐标为
当,即时,直线的斜率.
所以直线的方程为,
整理得
当时,上式对任意恒成立,
此时,直线恒过定点,也在上,
当时,直线的方程为,仍过定点,
故符合题意的直线恒过定点.
(3)所以
设的方程为
则 , ,
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【题目】如图,正方体的棱长为 1, 为的中点, 为线段上的动点,过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).
①当时, 为四边形;②当时, 为等腰梯形;③当时, 为六边形;④当时, 的面积为.
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【题目】如图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=2.
(1)请画出该几何体的三视图;
(2)求四棱锥B﹣CEPD的体积.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点,求证:
(1)直线EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
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【题目】已知直线l过点A(﹣3,4)
(1)若l与直线y=﹣2x+5平行,求其一般式方程;
(2)若l与直线y=﹣2x+5垂直,求其一般式方程;
(3)若l与两个坐标轴的截距之和等于12,求其一般式方程.
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【题目】已知圆经过变换后得曲线.
(1)求的方程;
(2)若为曲线上两点, 为坐标原点,直线的斜率分别为且,求直线被圆截得弦长的最大值及此时直线的方程.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,若直线的参数方程为(为参数, 为的倾斜角),曲线的极坐标方程为,射线, , 与曲线分别交于不同于极点的三点.
(1)求证: ;
(2)当时,直线过两点,求与的值.
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【题目】某地政府为了对房地产市场进行调控决策,统计部门对外来人口和当地人口进行了买房的心理预期调研,用简单随机抽样的方法抽取了110人进行统计,得到如下列联表(不全):
已知样本中外来人口数与当地人口数之比为3:8.
(1)补全上述列联表;
(2)从参与调研的外来人口中用分层抽样方法抽取6人,进一步统计外来人口的某项收入指标,若一个买房人的指标记为3,一个犹豫人的指标记为2,一个不买房人的指标记为1,现在从这6人中再随机选取3人,用表示这3人指标之和,求的分布列和数学期望.
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