Question

【题目】设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数．

（1）求p的值；

（2）求证：数列{an}为等比数列；

（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．

Answer 1

【答案】（1）p＝2；（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）取n＝1时，由得p＝0或2，计算排除p＝0的情况得到答案.

（2），则，相减得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化简得到，得到证明.

（3）分别证明充分性和必要性，假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，计算化简得2x﹣2y﹣2＝1，设k＝x﹣（y﹣2），计算得到k＝1，得到答案.

（1）n＝1时，由得p＝0或2，若p＝0时，，

当n＝2时，，解得a2＝0或，

而an＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；

（2）当p＝2时，①，则②，

②﹣①并化简得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，则3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，

④﹣③得（n∈N*），

又因为，所以数列{an}是等比数列，且；

（3）充分性：若x＝1，y＝2，由知an，2xan+1，2yan+2依次为，，，

满足，即an，2xan+1，2yan+2成等差数列；

必要性：假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，又，

所以，化简得2x﹣2y﹣2＝1，

显然x＞y﹣2，设k＝x﹣（y﹣2），

因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，

故当k＝1，且当x＝1，且y﹣2＝0时上式成立，即证．