Question

（2013•奉贤区二模）如图放置的等腰直角三角形ABC薄片（∠ACB=90°，AC=2）沿x轴滚动，设顶点A（x，y）的轨迹方程是y=f（x），当x∈[0，4+2

2

]时y=f（x）=

4-(x-2)2 (0≤x≤2) 8-(x-4)2 (2≤x≤4+2 2 )

．

Answer 1

分析：根据三角形在滚动过程中的特点，要使x∈[0，4+2

2

]，说明三角形进行了两次滚动，一次是以C为圆心，A在四分之一圆周运动，一次是以B为圆心A在中心角是135°的扇形弧上运动，由此可求A的轨迹．

解答：解：当等腰直角三角形以C为旋转点滚动时，A的轨迹是以C（2，0）为圆心，以AC长为半径的圆的部分，当B点落在x轴上时，点A运动了四分之一圆周，所以其轨迹方程为y=

4-(x-2)2

（0≤x≤2）；
当等腰直角三角形以B为旋转点滚动时，A的轨迹是以B（4，0）为圆心，以AB长为半径的圆的部分，当A点落在x轴上时满足A点的最大横坐标为4+2

2

．三角形不在滚动，此过程是以B（4，0）为圆心，以2

2

为半径的圆的部分，轨迹方程为y=

8-(x-4)2

（2≤x≤4+2

2

）．
所以顶点A（x，y）的轨迹方程是f（x）=

4-(x-2)2 (0≤x≤2) 8-(x-4)2 (2≤x≤4+2 2 )

．
故答案为

4-(x-2)2 (0≤x≤2) 8-(x-4)2 (2≤x≤4+2 2 )

．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了分类讨论的数学思想，训练了圆的标准方程，是基础题．