Question

20．已知等差数列{a_n}和正项等比数列{b_n}，a₁=b₁=1，a₃+a₅+a₇=9，a₇是b₃和b₇等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列和等比数列的性质，由已知分别求得公差d和公比q，利用等差数列和等比数列的通项公式即可求得数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），采用“裂项法”即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}公差为d，正项等比数列{b_n}的公比为q，q＞0，
∵a₃+a₅+a₇=9  
3a₅=9即a₅=3，
d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=$\frac{1}{2}$，
数列{a_n}的通项公式：a_n=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，…（3分）
∴a₇=4，
∵a₇是b₃和b₇等比中项，
∴${a}_{7}^{2}$=b₃•b₇=${b}_{5}^{2}$即b₅=a₇=4，
∴q⁴=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}$=4，解得：q=±$\sqrt{2}$，
q=$\sqrt{2}$，
∴q=（$\sqrt{2}$）^n-1；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\frac{n+1}{2}•\frac{n+2}{2}}$=$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴数列{c_n}的前n项和T_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+4（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{2n}{n+2}$，
数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{2n}{n+2}$．…（12分）

点评 本题考查等差数列和等比数列性质及通项公式，考查“裂项法”求数列的前n项的应用，属于中档题．