Question

【题目】定义：设是正整数，如果对任意正整数，当时，即有，那么称数列的前项可被数列的第项替换.已知数列的前项和是，数列是公比为1的等差数列.

（1）求数列的通项公式（用，表示）；

（2）已知，数列的前项和满足；

①求证：数列为等比数列，并求的通项公式；

②若数列的前可被数列的前项替换，且的最大值为8，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析，，②

【解析】

（1）依题意可得，再利用计算可得；

（2）①由，得到，即可得证，还需计算；

②由题意知对一切恒成立，即，令，判断的单调性，即可得到的取值范围.

（1）∵是公差为1的等差数列且首项为，

∴，

∴，

当时，，也满足上式，

∴.

（2）①∵ ①

当时， ②

①-②得，

在①式令，得，

∴，

故，

∴为等比数列，.

②由题意知对一切恒成立，

∴，即，

令，

，

∴单调递增，

∴.

另一方面对一切且恒成立，

即，，，

∴.