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【题目】设函数.

1)讨论上的单调性;

2)当时,若存在正实数,使得对,都有,求的取值范围..

【答案】1)见解析;(2.

【解析】

1)求得,然后分两种情况讨论,分析导数在区间上的符号变化,即可得出函数在区间上的单调区间;

2)由(1)可知,当时,函数上单调递减,则,使得对任意,都有,构造函数,分两种情况讨论,分析函数的单调性,结合在区间上恒成立可求得实数的取值范围.

1)由,得

时,由,得,即函数上单调递增,

,得,即函数上单调递减;

时,上恒成立,即函数上单调递增.

综上所述,当时,函数上单调递增;

时,函数上单调递增,在上单调递减;

2,当时,由(1)结合函数的单调性知,

,使得对任意,都有,则由.

,则

,由.

)若,则,故,即函数上单调递减,

对任意,都有,不合题意;

)若,则,故

上单调递增,

对任意,都有,符合题意,

此时取,可使得对,都有.

综上可得的取值范围是.

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