【题目】设函数,
.
(1)讨论在
上的单调性;
(2)当时,若存在正实数
,使得对
,都有
,求
的取值范围..
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)求得,然后分
和
两种情况讨论,分析导数在区间
上的符号变化,即可得出函数
在区间
上的单调区间;
(2)由(1)可知,当时,函数
在
上单调递减,则
,使得对任意
,都有
,构造函数
,分
和
两种情况讨论,分析函数
的单调性,结合
在区间
上恒成立可求得实数
的取值范围.
(1)由,得
,
,
,
当时,由
,得
,即函数
在
上单调递增,
由,得
,即函数
在
上单调递减;
当时,
在
上恒成立,即函数
在
上单调递增.
综上所述,当时,函数
在
上单调递增;
当时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减;
(2),当
时,由(1)结合函数
的单调性知,
,使得对任意
,都有
,则由
得
.
设,则
,
由得
,由
得
.
(Ⅰ)若,则
,故
,即函数
在
上单调递减,
,
对任意
,都有
,不合题意;
(Ⅱ)若,则
,故
,
在
上单调递增,
,
对任意
,都有
,符合题意,
此时取,可使得对
,都有
.
综上可得的取值范围是
.
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【题目】已知抛物线上横坐标为
的点到焦点的距离为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过点的直线与抛物线交于不同的两点
,且以
为直径的圆过坐标原点
,求
的面积。
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【题目】祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家,他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第位,也就是
和
之间,这一成就比欧洲早了
多年,我校“爱数学”社团的同学,在祖冲之研究圆周率的方法启发下,自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示,模型内置一个与其各个面都相切的球,该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候,同学们随机往模型中投掷大小相等,形状相同的玻璃球,通过计算落在球内的玻璃球数量,来估算圆周率的近似值.已知某次实验中,某同学一次投掷了
个玻璃球,请你根据祖冲之的圆周率精确度(取小数点后三位)估算落在球内的玻璃球数量( )
A.B.
C.
D.
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【题目】二项式的二项式系数和为256.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中各项的系数和;
(3)展开式中是否有有理项,若有,求系数;若没有,说明理由.
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【题目】某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线,现对检测线进行上线的检测试验:从装有个正品和
个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出
个,再将电子元件放回.重复
次这样的试验,那么“取出的
个电子元件中有
个正品,
个次品”的结果恰好发生
次的概率是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图所示,四棱锥的底面为正方形,
底面
,则下列结论中正确结论的序号是_________________.
①;②
平面
;③
与平面
所成的角等于
与平面
所成的角;④
与
所成的角等于
与
所成的角.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若曲线、
交于
、
两点,
是曲线
上的动点,求
面积的最大值.
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【题目】定义:设是正整数,如果对任意正整数
,当
时,即有
,那么称数列
的前
项可被数列
的第
项替换.已知数列
的前
项和是
,数列
是公比为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式(用
,
表示);
(2)已知,数列
的前
项和
满足
;
①求证:数列为等比数列,并求
的通项公式;
②若数列的前
可被数列
的前
项替换,且
的最大值为8,求
的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,已知圆
与直线
相切,点A为圆
上一动点,
轴于点N,且动点满足
,设动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设P,Q是曲线C上两动点,线段的中点为T,
,
的斜率分别为
,且
,求
的取值范围.
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