Question

11．己知四棱锥P一ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，M、N分别AB、PC的中点．
（1）求证平面MND⊥平面PCD；
（2）若PA=AD=2，AB=1，求直线MD与平面PCD所成角的大小；
（3）在（2）的条件下，求直线MD与直线PB所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面MND⊥平面PCD．
（2）求出平面PCD的法向量和$\overrightarrow{MD}$，由此利用向量法能求出直线MD与平面PCD所成角．
（3）求出$\overrightarrow{MD}$和$\overrightarrow{PB}$，由此能求出直线MD与直线PB所成角的大小．

解答 证明：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=AD=2a，AB=2b，
则M（b，0，0），C（2b，2a，0），P（0，0，2a），N（b，a，a），D（0，2a，0），
$\overrightarrow{MN}$=（0，a，a），$\overrightarrow{MD}$=（-b，2a，0），$\overrightarrow{PC}$=（2b，2a，-2a），$\overrightarrow{PD}$=（0，2a，-2a），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}=ay+az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MD}=-bx+2ay=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{2a}{b}$，1，-1），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=2b{x}_{1}+2a{y}_{1}-2a{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=2a{y}_{1}-2a{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取y₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0+1-1=0，
∴平面MND⊥平面PCD．
解：（2）∵PA=AD=2，AB=1，
∴（1）中的a=1，b=$\frac{1}{2}$，∴平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
$\overrightarrow{MD}$=（-$\frac{1}{2}$，2，0），
设直线MD与平面PCD所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{MD}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|2|}{\sqrt{\frac{17}{4}}•\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．
∴直线MD与平面PCD所成角的大小为arcsin$θ=\frac{2\sqrt{34}}{17}$．
（3）$\overrightarrow{MD}$=（-$\frac{1}{2}$，2，0），P（0，0，2），B（1，0，0），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-2），
设直线MD与直线PB所成角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{MD}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{17}{4}}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{85}}{85}$，
∴直线MD与直线PB所成角为arccos$\frac{\sqrt{85}}{85}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查直线与平面所成角、直线与直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．