Question

若数列{a_n}的前n项和S_n=

1

4

（a_n+1）²（n∈N^*），数列{

1

Sn+n

}的前n项和为T_n，则满足T_n＞

9

10

的n的最小值为（　　）

• A、8
• B、9
• C、10
• D、11

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由4S_n=（a_n+1）²，得4S_n+1=（a_n+1+1）²，两者作差，研究{a_n}的相邻项的关系，由此关系求其通项即可．

解答： 解：由题设条件知4S_n=（a_n+1）²，
得4S_n+1=（a_n+1+1）²，两者作差，得4a_n+1=（a_n+1+1）²-（a_n+1）²．
整理得（a_n+1-1）²=（a_n+1）²．
又数列{a_n}各项均为正数，
所以a_n+1-1=a_n+1，即a_n+1=a_n+2，
故数列{a_n}是等差数列，公差为2，
又4S₁=4a₁=（a₁+1）²，解得a₁=1，
故有a_n=2n-1，
则S_n=

1

4

（a_n+1）²=S_n=

1

4

（2n-1+1）²=n²（n∈N^*），
则S_n+n=n+n²=n（n+1），
则

1

Sn+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，．
则T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
若T_n＞

9

10

，则1-

1

n+1

＞

9

10

，即

1

n+1

＜

1

10

，
则n+1＞10，n＞9，
则n的最小值为10，
故选：C

点评：本题考查数列求和，求解的关键是根据其通项的形式将其项分为两项的差，采用裂项求和的技巧．