Question

如图，n²（n≥4）个正数排成n行n列方阵，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比都相等，设a24=1，a42=

1

8

，a43=

3

16

．
（1）求公比q的值；
（2）求a_1k（1≤k≤n）的值；
（3）求S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn的值．

Answer 1

分析：（1）通过数列每一行的数成等差数列，求出a₄₄，每一列的数成等比数列，即可求公比q的值；
（2）求出数列的公差，利用通项公式直接求解a_1k（1≤k≤n）的值；
（3）利用塑料袋通项公式，通过错位相减法直接求解S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn的值．

解答：解：（1）因为每一行的数成等差数列，a42=

1

8

，a43=

3

16

，∴a44=

1

4

，
每一列的数成等比数列a₂₄=1a44=a24•q2=

1

4

，
因为正数排成n行n列方阵，
所以q＞0，
解得q=

1

2

．
（2）∵a 42=a12•q3∴a₁₂=1
∵a43=a13•q3∴a13=

3

2

∵{a_1k}成等差数列d=a13-a12=

1

2

，
a1k=a12+

1

2

(k-2)=

1

2

k
（3）∵ann=a1n•(

1

2

)n-1=

1

2

n•(

1

2

)n-1=n•(

1

2

)n
S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn
∴Sn=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n，
则

1

2

Sn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1，

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
∴

1

2

Sn=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1，
∴Sn=2(1-(

1

2

)n)-n•(

1

2

)n=2-(n+2)(

1

2

)n

点评：本题考查等差数列与等比数列的关综合应用，考查数列求和的常用方法，考查分析问题解决问题的能力．