Question

10．已知函数f（x）=$\frac{si{n}^{2}θ+3}{\sqrt{si{n}^{2}θ+2}}$，求它的最小值．

Answer 1

分析 把已知的函数解析式变形，然后换元，再利用“对勾”函数的单调性求得答案．

解答 解：f（x）=$\frac{si{n}^{2}θ+3}{\sqrt{si{n}^{2}θ+2}}$=$\frac{si{n}^{2}θ+2+1}{\sqrt{si{n}^{2}θ+2}}$=$\sqrt{si{n}^{2}θ+2}+\frac{1}{\sqrt{si{n}^{2}θ+2}}$，
令$\sqrt{si{n}^{2}θ+2}=t$，则t∈[$\sqrt{2}，\sqrt{3}$]．
原函数化为g（t）=$t+\frac{1}{t}$，在[$\sqrt{2}，\sqrt{3}$]上为增函数，
∴当t=$\sqrt{2}$时，$g（t）_{min}=\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴f（x）=$\frac{si{n}^{2}θ+3}{\sqrt{si{n}^{2}θ+2}}$的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查三角函数最值的求法，训练了换元法，训练了利用“对勾”函数的单调性求函数的值域，是中档题．