Question

8．已知点A（1，0）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{m}$$-\frac{{y}^{2}}{n}$=1上的点，且双曲线的焦点在x轴上．
（1）若n∈N^*，双曲线的离心率e$＜\sqrt{3}$，求双曲线的方程．
（2）过（1）中双曲线的右焦点作直线l，该直线与双曲线交于A，B两点，直线l与x轴上的夹角为a，若弦长为|AB|=4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得m=1，n＞0，n∈N^*，运用离心率公式，解不等式可得n的值，进而得到双曲线的方程；
（2）双曲线的右焦点为（$\sqrt{2}$，0），若夹角为90°，即有直线l：x=$\sqrt{2}$，代入双曲线的方程，可得弦长，不合题意；设直线l：y=tanα（x-$\sqrt{2}$），代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程即可得到夹角．

解答 解：（1）由题意可得m=1，n＞0，n∈N^*，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{1+n}}{1}$＜$\sqrt{3}$，可得n＜2，即有n=1．
则双曲线的方程为x²-y²=1；
（2）双曲线的右焦点为（$\sqrt{2}$，0），
若夹角为90°，即有直线l：x=$\sqrt{2}$，
代入双曲线的方程，可得y=±1，
弦长AB=2，不合题意舍去；
设直线l：y=tanα（x-$\sqrt{2}$），
代入双曲线的方程可得，
（1-tan²α）x²+2$\sqrt{2}$tan²αx-2tan²α-1=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{2}ta{n}^{2}α}{1-ta{n}^{2}α}$，x₁x₂=$\frac{-2ta{n}^{2}α-1}{1-ta{n}^{2}α}$，
由弦长公式可得|AB|=$\sqrt{1+ta{n}^{2}α}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+ta{n}^{2}α}$•$\sqrt{\frac{8ta{n}^{4}α}{（1-ta{n}^{2}α）^{2}}-\frac{-8ta{n}^{2}α-4}{1-ta{n}^{2}α}}$=4，
解方程可得tan²α=3或$\frac{1}{3}$，
即有tanα=$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$（负的舍去），
可得夹角为60°或30°．

点评 本题考查双曲线的方程的运用，考查离心率的运用，以及直线和双曲线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．