Question

20．设函数f（x）与g（x）的定义域为R，且f（x）单调递增，F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）-g（x）．若对任意x₁，x₂∈R（x₁≠x₂），不等式[f（x₁）-f（x₂）]²＞[g（x₁）-g（x₂）]²恒成立．则（　　）

• A． F（x），G（x）都是增函数
• B． F（x），G（x）都是减函数
• C． F（x）是增函数，G（x）是减函数
• D． F（x）是减函数，G（x）是增函数

Answer 1

分析 根据题意，不妨设x₁＞x₂，f（x）单调递增，可得出f（x₁）-f（x₂）＞g（x₁）-g（x₂），且f（x₁）-f（x₂）＞-g（x₁）+g（x₂），
根据单调性的定义证明即可．

解答 解：对任意x₁，x₂∈R（x₁≠x₂），不等式[f（x₁）-f（x₂）]²＞[g（x₁）-g（x₂）]²恒成立，
不妨设x₁＞x₂，f（x）单调递增，
∴f（x₁）-f（x₂）＞g（x₁）-g（x₂），且f（x₁）-f（x₂）＞-g（x₁）+g（x₂），
∴F（x₁）=f（x₁）+g（x₁），F（x₂）=f（x₂）+g（x₂），
∴F（x₁）-F（x₂）=f（x₁）+g（x₁）-f（x₂）-g（x₂）
=f（x₁）-f（x₂）-（g（x₂）-g（x₁）＞0，
∴F（x）为增函数；同理可证G（x）为增函数，
故选A．

点评 考查了对绝对值不等式的理解和利用定义证明函数的单调性．