Question

5．已知f（x）=log₂x，x∈[$\frac{1}{8}$，4]，则函数y=[f（$\frac{{x}^{2}}{2}$）]×f（2x）的值域是[$-\frac{9}{8}，2$]．

Answer 1

分析 根据复合函数定义域之间的关系求出函数的定义域，然后结合对数函数和一元二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=log₂x，x∈[$\frac{1}{8}$，4]，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}≤2x≤4}\\{\frac{1}{8}≤\frac{{x}^{2}}{2}≤4}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}≤x≤2$．
∴函数y=[f（$\frac{{x}^{2}}{2}$）]×f（2x）的定义域为[$\frac{1}{2}，2$]．
则y=[f（$\frac{{x}^{2}}{2}$）]×f（2x）=$lo{g}_{2}\frac{{x}^{2}}{2}•lo{g}_{2}2x=（2lo{g}_{2}x-1）（lo{g}_{2}x+1）$
=$2lo{{g}_{2}}^{2}x+lo{g}_{2}x-1$=$2（lo{g}_{2}x+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{9}{8}$．
∵$\frac{1}{2}≤x≤2$，∴-1≤log₂x≤1，
∴当$lo{g}_{2}x=-\frac{1}{4}$时，${y}_{min}=-\frac{9}{8}$；
当log₂x=1时，y_max=2．
∴函数y=[f（$\frac{{x}^{2}}{2}$）]×f（2x）的值域是[$-\frac{9}{8}，2$]．
故答案为：[$-\frac{9}{8}，2$]．

点评 本题主要考查函数值域的求解，求出函数的定义域是解决本题的关键，是中档题．