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直线l:y=ax+1与双曲线3x2-y2=1有两个不同的交点,
(1)求a的取值范围;
(2)设交点为A,B,是否存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点,若存在就求出直线l的方程,若不存在则说明理由.
(1)联立方程组
3x2-y2=1
y=ax+1
,消去y,得:
(3-a)2x2-2ax-2=0,…(2分)
由题意方程有两个实数根,
3-a2≠0
△=(-2a)2-4(3-a2)×(-2)>0
,…(3分)
解得-
6
<a<
6
,且a≠±
3

∴a的取值范围是(-
6
,-
3
)∪(-
3
3
)∪(
3
6
).…(5分)
(2)设交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
由(1)知,x1+x2=
2a
3-a2
x1x2=
-2
3-a2
,…(6分)
由题意可得,OA⊥OB(O是坐标原点),
则有x1x2+y1y2=0,…(7分)
y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2x1x2+a(x1+x2)+1…(8分)
∴(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0
于是得(a2+1)
-2
3-a2
+a•
2a
3-a2
+1=0

解得a=±1,且满足(1)的条件,…(10分)
所以存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点,
直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.…(12分)
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x2
4
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2
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OA
OB
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线段PQ是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
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|SM|
|SP|
+
|SM|
|SQ|
=______.

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已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,直线l:y=
3
(x-4)
关于直线l1:y=
b
a
x
对称的直线l′与x轴平行.
(1)求双曲线的离心率;
(2)若点M(4,0)到双曲线上的点P的最小距离等于1,求双曲线的方程.

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已知双曲线的中心在原点O,其中一条准线方程为x=
3
2
,且与椭圆
x2
25
+
y2
13
=1
有共同的焦点.
(1)求此双曲线的标准方程;
(2)(普通中学学生做)设直线L:y=kx+3与双曲线交于A、B两点,试问:是否存在实数k,使得以弦AB为直径的圆过点O?若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.
(重点中学学生做)设直线L:y=kx+3与双曲线交于A、B两点,C是直线L1:y=mx+6上任一点(A、B、C三点不共线)试问:是否存在实数k,使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.

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