Question

12．已知f_n（x）=（ax+$\frac{1}{x}$）ⁿ，且f₄（x）展开式的各项系数和为81．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f₁（$\frac{1}{x}$）•f₅（x），求g（x）展开式的常数项．

Answer 1

分析 （1）由已知可得（1+a）⁴=81，由此解得a的值．
（2）由于g（x）=f₁（$\frac{1}{x}$）•f₅（x）=（$\frac{2}{x}$+x）（2x+$\frac{1}{x}$）⁵，可得 g（x）展开式的常数项．

解答 解：（1）由已知f_n（x）=（ax+$\frac{1}{x}$）ⁿ，且f₄（x）展开式的各项系数和为81，
可得（1+a）⁴=81，解得a=2．
（2）∵g（x）=f₁（$\frac{1}{x}$）•f₅（x）=（$\frac{2}{x}$+x）（2x+$\frac{1}{x}$）⁵，
∴g（x）展开式的常数项为2•${C}_{5}^{2}$•2³+${C}_{5}^{3}$•2²=200．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．