Question

如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元∕km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是

 

万元．

Answer 1

分析：依题意知曲线PQ是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2，以直线AB为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为x2-

y2

3

=1，点C的坐标为（3，

3

）．求出修建这条公路的总费用W，根据双曲线的定义有|MM1|=

1

2

|MB|，根据a+b≥2

ab

当且仅当a=b时取等号的方法求出W的最小值即可．

解答：解：依题意知曲线PQ是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2，以直线AB为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为x2-

y2

3

=1，点C的坐标为（3，

3

）．则修建这条公路的总费用W=a|MB|+2a|MC|=2a(

1

2

|MB|+|MC|)，设点M、C在双曲线右准线上射影分别为点M₁、C₁，根据双曲线的定义有|MM1|=

1

2

|MB|，所以W=2a(

1

2

|MB|+|MC|)=2a(|MM1|+MC|)≥2a|CC1|=2a×(3-

1

2

)=5a
当且仅当点M为曲线PQ与线段CC₁的交点时取等号，故W的最小值是5a．
故答案为；5a．

点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及会用a+b≥2

ab

当且仅当a=b时取等号的方法来求函数的最小值的能力．