Question

如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．那么这两条公路MB、MC的路程之和最短是

2

7

-2

km．

Answer 1

分析：依题意知曲线PQ是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，以直线AB为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，求出点C与点A的坐标，最后根据MB+MC=MA-2+MC=MA+MC-2≥AC-2可求出最短距离．

解答：解：依题意知曲线PQ是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，
以直线AB为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，点C的坐标为（3，

3

），A（-2，0），
∵MB+MC=MA-2+MC=MA+MC-2≥AC-2=2

7

-2，
∴两条公路MB、MC的路程之和最短是2

7

-2．
故答案为：2

7

-2．

点评：本题考查了双曲线的定义，以及学生根据实际问题选择函数类型的能力，转化的思想，属于中档题．