Question

设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过三点的圆与直线相切，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1） ；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）连接，由，，得到

,即,确定得到椭圆的离心率为；

（2）由，得，，的外接圆圆心为，半径，

因为过三点的圆与直线相切，

，解得，即得所求．

（3）由（2）知，设直线的方程为代入椭圆方程整理得：．由已知得 恒成立．

设，由韦达定理得，

得到．

故中点为．

讨论当时，当时的不同情况求解．

试题解析：（1）连接，因为，，所以

,即,故椭圆的离心率为； 3分

（2）由（1）知，得，，的外接圆圆心为，半径，

因为过三点的圆与直线相切，

∴，解得：，．

所以所求椭圆方程为：． 7分

（3）由（2）知，设直线的方程为：

由 得：．

因为直线过点，所以 恒成立．

设，由韦达定理得： ，

所以．

故中点为． 10分

当时，为长轴，中点为原点，则； 11分

当时，中垂线方程为．

令，得．因为所以． 13分

综上可得实数的取值范围是． 14分

考点：1．椭圆的标准方程及其几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．直线与圆的位置关系．