【题目】已知椭圆 =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),离心率为
,过点B(0,﹣2)及左焦点F1的直线交椭圆于C,D两点,右焦点设为F2 .
(1)求椭圆的方程;
(2)求△CDF2的面积.
【答案】
(1)解:∵椭圆 =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),离心率为
,
∴b= =1,且
=
,解之得a=
,c=1
可得椭圆的方程为
(2)解:∵左焦点F1(﹣1,0),B(0,﹣2),得F1B直线的斜率为﹣2
∴直线F1B的方程为y=﹣2x﹣2
由 ,化简得9x2+16x+6=0.
∵△=162﹣4×9×6=40>0,
∴直线与椭圆有两个公共点,设为C(x1,y1),D(x2,y2),
则
∴|CD|= |x1x2|=
=
=
又∵点F2到直线BF1的距离d= =
,
∴△CDF2的面积为S= |CD|×d=
×
=
【解析】(1)根据椭圆的基本概念和平方关系,建立关于a、b、c的方程,解出a= ,b=c=1,从而得到椭圆的方程;(2)求出F1B直线的斜率得直线F1B的方程为y=﹣2x﹣2,与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出|xspan>1﹣x2|=
,结合弦长公式可得|CD|=
,最后利用点到直线的距离公式求出F2到直线BF1的距离d,即可得到△CDF2的面积.
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【题目】已知圆C过两点M(﹣3,3),N(1,﹣5),且圆心在直线2x﹣y﹣2=0上
(1)求圆的方程;
(2)直线l过点(﹣2,5)且与圆C有两个不同的交点A、B,若直线l的斜率k大于0,求k的取值范围;
(3)在(2)的条件下,是否存在直线l使得弦AB的垂直平分线过点P(3,﹣1),若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】某钢厂打算租用,
两种型号的火车车皮运输900吨钢材,
,
两种车皮的载货量分别为36吨和60吨,租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个,钢厂要求租车皮总数不超过21个,且
型车皮不多于
型车皮7个,分别用
,
表示租用
,
两种车皮的个数.
(1)用,
列出满足条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)分别租用,
两种车皮的个数是多少时,才能使得租金最少?并求出此最小租金.
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【题目】已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤|f( )|对x∈R恒成立,且f(
)>f(π),则f(x)的单调递增区间是( )
A.[kπ﹣ ,kπ+
](k∈Z)
B.[kπ,kπ+ ](k∈Z)
C.[kπ+ ,kπ+
](k∈Z)
D.[kπ﹣ ,kπ](k∈Z)
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