Question

【题目】如图，△ABC中，sin = ，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD= ．（Ⅰ）求：BC的长；（Ⅱ）求△DBC的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为sin = ，所以cos∠ABC=1﹣2 =1﹣2× = ． 在△ABC中，设BC=a，AC=3b，
由余弦定理可得： ①
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：
， ．
因为cos∠ADB=﹣cos∠BDC，所以有 ，所以3b2﹣a2=﹣6 ②
由①②可得a=3，b=1，即BC=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos∠ABC= ，则sin∠ABC= = ，又AB=2，BC=3，
则△ABC的面积为 ABBCsin∠ABC= ，
又因为AD=2DC，所以△DBC的面积为 ×2 =
【解析】（Ⅰ）由sin 的值，利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos∠ABC的值，设BC=a，AC=3b，由AD=2DC得到AD=2b，DC=b，在三角形ABC中，利用余弦定理得到关于a与b的关系式，记作①，在三角形ABD和三角形DBC中，利用余弦定理分别表示出cos∠ADB和cos∠BDC，由于两角互补，得到cos∠ADB等于﹣cos∠BDC，两个关系式互为相反数，得到a与b的另一个关系式，记作②，①②联立即可求出a与b的值，即可得到BC的值；（Ⅱ）由角ABC的范围和cos∠ABC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin∠ABC的值，由AB和BC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积，由AD=2DC，且三角形ABD和三角形BDC的高相等，得到三角形BDC的面积等于三角形ABC面积的 ，进而求出三角形BDC的面积．