Question

【题目】如图，某城市有一块半径为40m的半圆形（以O为圆心，AB为直径）绿化区域，现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，使OD＝80m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2. 设∠AOC＝x rad.

（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；

（2）张强同学说：当∠AOC=时，改建后的绿化区域面积S最大．张强同学的说法正确吗？若不正确，请求出改建后的绿化区域面积S最大值.

Answer 1

【答案】（1）S＝：（2）

【解析】试题分析：（1）求出扇形区域AOC、三角形区域COD的面积，即可求出S关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．

试题解析：

（1）因为扇形AOC的半径为40m，∠AOC＝x rad，

在中， ， ， ，

所以．

从而 ＋．

（2）张强同学的说法不正确.

理由如下：

由（1）知， .

.

由，解得.

从而当时， ；当时， .

因此在区间上单调递增，在区间上单调递减．

所以当时，S取得最大值．