Question

【题目】已知函数，其中常数.

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）当时，若函数有三个不同的零点，求的取值范围；

（3）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称为函数的“类对称点”，请你探究当时，函数是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点” 的横坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 单调递增区间为和;(2) ; (3) 是一个类对称点的横坐标.

【解析】试题分析：（1）求导数f′（x），当a＞2时在函数定义域内解不等式f′（x）＞0即可．

（2）数形结合：当a=4时，用导数求出函数y=f（x）的极大值与极小值，画出草图，借助图象即可求得m的取值范围．（3）当a=4时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为y=h（x）=.由此能推导出y=f（x）存在“类对称点”， 是一个“类对称点”的横坐标．

（1）由可知，函数的定义域为，

且.

因为，所以.当或时， ；当时， ，

所以的单调递增区间为和.

（2）当时， .所以，当变化时， 的变化情况如下：

		1		2
	+	0	-	0	+
	单调递增	取极大值	单调递减	取极小值	单调递增

所以极大值，

极小值.

函数的图象大致如下：

所以若函数有三个不同的零点，

则.

（3）由题意，当时， ，则在点处切线的斜率.

所以 .

令，

则， .

①当时， 在上单调递减，所以当时， .从而有时， ；

②当时， 在上单调递减，所以当时， .从而有时， ；

所以在上不存在“类对称点”.

③当时， ，所以在上是增函数，故.

所以是一个类对称点的横坐标.