【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< )的最小正周期为2 π,最小值为﹣2,且当x= 时,函数取得最大值4. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅲ)若当x∈[ , ]时,方程f(x)=m+1有解,求实数m的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)因为f(x)的最小正周期为2π, 得ω= =1,
又 ,解得 ,
由题意, +φ=2kπ+ (k∈Z),
即φ=2kπ﹣ (k∈Z),因为|φ|< ,
所以,φ=﹣ ,
所以f(x)=3sin(x﹣ )+1
(Ⅱ)当2kπ- ≤x﹣ ≤2kπ+ (k∈Z),
即x∈[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z)时,函数f(x)单调递增
(Ⅲ)方程f(x)=m+1可化为m=3sin(x﹣ )
因为x∈[ , ],所以x﹣ ∈[﹣ , ],
由正弦函数图象可知,实数m的取值范围是[﹣ ,3]
【解析】(Ⅰ)由最小正周期可求ω,又 ,解得 ,由题意, +φ=2kπ+ (k∈Z),|φ|< ,可解得φ,即可求得函数 f(x)的解析式;(Ⅱ)由2kπ- ≤x﹣ ≤2kπ+ (k∈Z)可求得函数f(x)的单调递增区间;(Ⅲ)方程f(x)=m+1可化为m=3sin(x﹣ ),由x∈[ , ],由正弦函数图象可解得实数m的取值范围.
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【题目】某钢厂打算租用,两种型号的火车车皮运输900吨钢材,,两种车皮的载货量分别为36吨和60吨,租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个,钢厂要求租车皮总数不超过21个,且型车皮不多于型车皮7个,分别用,表示租用,两种车皮的个数.
(1)用,列出满足条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)分别租用,两种车皮的个数是多少时,才能使得租金最少?并求出此最小租金.
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【题目】已知函数f(x)=log2(ax2+4x+5).
(1)若f(1)<3,求a的取值范围;
(2)若a=1,求函数f(x)的值域.
(3)若f(x)的值域为R,求a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤|f( )|对x∈R恒成立,且f( )>f(π),则f(x)的单调递增区间是( )
A.[kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z)
B.[kπ,kπ+ ](k∈Z)
C.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z)
D.[kπ﹣ ,kπ](k∈Z)
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【题目】已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则关于函数y=f(x),下列说法正确的是( )
A.在x=﹣1处取得极大值
B.在区间[﹣1,4]上是增函数
C.在x=1处取得极大值
D.在区间[1,+∞)上是减函数
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是菱形, 平面, 是棱上的一个动点.
(Ⅰ)若为的中点,求证: 平面;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)若三棱锥的体积是四棱锥体积的,求的值.
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