Question

4．将棱长为2的正方体沿对角A₁BAD₁截去一半得到如图所示的几何体，点E，F分别是BC，DC的中点，AF与DE相交于O点．
（1）证明：AF⊥平面DD₁E；
（2）求三棱锥A-EFD₁的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出DD₁⊥AF，AF⊥DE，由此能证明AF⊥平面DD₁E．
（2）三棱锥A-EFD₁的体积${V}_{A-EF{D}_{1}}={V}_{{D}_{1}-AEF}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵将棱长为2的正方体沿对角A₁BAD₁截去一半得到如图所示的几何体，
∴D₁D⊥平面ABCD，
∵AF?平面ABCD，∴DD₁⊥AF，
∵点E，F分别是BC，DC的中点，∴DF=CE，
∵AD=DC，∠ADF=∠DCE=90°，
∴△ADF≌△DCE，∴∠AFD=∠DEC，
∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，
∴∠DOF=180°-（∠CDE+∠AFD）=90°，∴AF⊥DE，
∵D₁D∩DE=D，∴AF⊥平面DD₁E．
解：（2）∵D₁D⊥平面ABCD，∴D₁D是三棱锥D₁-AEF的高，且D₁D=2，
∵点E，F分别是BC，D₁C的中点，∴DF=CF=CE=BE=1，
∴S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF=4-$\frac{1}{2}×AB×BE-\frac{1}{2}×AD×DF-\frac{1}{2}×CE×CF$=4-$\frac{1}{2}-1-1$=$\frac{3}{2}$，
∴三棱锥A-EFD₁的体积：
${V}_{A-EF{D}_{1}}={V}_{{D}_{1}-AEF}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△AEF}×{D}_{1}D$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×2=1$．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．