Question

18．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）的图象向右平移φ个单位长度，所得函数y=g（x）的图象关y轴对称，求φ的最小正值．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，可得-$\frac{3}{2}$φ+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，由此求得φ的最小正值．

解答 解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，
可得A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$，求得ω=$\frac{3}{2}$，
再根据五点法作图可得 $\frac{3}{2}$×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$，故f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）将y=f（x）的图象向右平移φ个单位长度，
可得g（x）=2sin[$\frac{3}{2}$（x-φ）+$\frac{π}{4}$]=2sin（$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$φ+$\frac{π}{4}$）的图象，
再根据所得函数y=g（x）的图象关y轴对称，可得-$\frac{3}{2}$φ+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=-$\frac{2k}{3}$π-$\frac{π}{6}$，k∈Z．
求得φ的最小正值为$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性．由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．