Question

【题目】如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面， ， 是的中点.

（1）求二面角的平面角的余弦值；

（2）在被上是否存在点，使平面？证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）;（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算计算出两个向量的夹角，进而得到二面角平面角的余弦值；（2）假设存在点，则直线所在的向量与平面的法向量平行，根据这个条件可得到一个方程，再根据有关知识判断方程的解的情况.

试题解析：以为坐标原点，分别以， ， 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则， ， ， ，

所以， ， .

（1）设是平面的一个法向量，

则由，得；取，则，

又是平面的一个法向量.设二面角的平面角为，

，二面角为钝角，余弦值为.

（2）， ， ， .

假设棱上存在点，使平面，设，（ ），

则， ，

由得 ， ，此时，

即在棱上存在点， ，使得平面.