Question

已知椭圆C的两焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），并且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1，证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一由椭圆的定义知2a=|MF₁|+|MF₂|=4，得到a=2，又c=1根据a，b，c的关系b²=a²-c²=3故得到，进而可得答案；
解法二利用待定系数法设椭圆方程为，将M点的坐标代入得又a²=b²+1所以可得a²=4，b²=3，进而可得答案；
（2）点P在椭圆上即所以，所以圆心到直线的距离小于半径r，所以直线l与圆O相交．所以弦长l==又0≤m²≤4所以．
解答：解：（1）解法一：设椭圆C的标准方程为，
由椭圆的定义知：
得
故C的方程为．
解法二：设椭圆C的标准方程为，
依题意，a²=b²+1①，将点坐标代入得②
由①②解得a²=4，b²=3，故C的方程为．
（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以，则，
从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离，
所以直线l与圆O相交．
直线l被圆O所截的弦长为=
∵，∴．
点评：解决此类问题关键是熟练掌握椭圆中的相关数值，灵活运用定义，待定系数等方法解决相关问题，利用直线与圆的位置关系求弦长的范围．