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已知椭圆C的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),并且经过点M(1 , 
3
2
)

(1)求椭圆C的方程;
(2)已知圆O:x2+y2=1,直线l:mx+ny=1,证明当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交;并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围.
(1)解法一:设椭圆C的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

由椭圆的定义知:2a=
(1+1)2+(
3
2
-0)
2
+
(1-1)2+(
3
2
-0)
2
=4 , c=1 , b2=a2-c2=3

a=2,b=
3

故C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

解法二:设椭圆C的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

依题意,a2=b2+1①,将点M(1,
3
2
)
坐标代入得
12
a2
+
(
3
2
)
2
b2
=1

由①②解得a2=4,b2=3,故C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)因为点P(m,n)在椭圆C上运动,所以
m2
4
+
n2
3
=1
,则m2+n2
m2
4
+
n2
3
=1

从而圆心O到直线l:mx+ny=1的距离d=
1
m2+n2
<1=r

所以直线l与圆O相交.
直线l被圆O所截的弦长为L=2
1-d2
=2
1-
1
m2+n2
=2
1-
1
m2+3(1-
m2
4
)
=2
1-
1
1
4
m2+3

0≤m2≤4∴3≤
1
4
m2+3≤4,
1
4
1
1
4
m2+3
1
3
,∴
2
6
3
≤L≤
3
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