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如图,椭圆C:的左顶点为A,M是椭圆C上异于点A的任意一点,点P与点A关于点M对称.

(1)若点P的坐标,求m的值;
(2)若椭圆C上存在点M,使得,求m的取值范围.

(1)(2)

解析试题分析:
(1)根据m的取值范围可以判断椭圆C的焦点,得到点A的坐标,则根据点与点的中点坐标公式可以用点P,A的坐标计算得到点M的坐标,把M点的坐标带入椭圆即可求的m的值.
(2)从题得A,P关于M对称,则可以设出M点的坐标,得到P点的坐标(中点的坐标公式),因为OM与OP垂直,则根据向量的内积为0可以得到关于M点坐标的方程,则把该方程与M点满足的椭圆方程联立消纵坐标即可求出m关于M点横坐标的方程,再利用基本不等式就可以求出m的取值范围(注意取得等号条件的验证与m值本身具有正数的范围)
试题解析:
(1)依题意,是线段的中点,因为
所以点的坐标为.   2分
由点在椭圆上,所以,解得.     4分
(2)设,则,且.①   5分
因为是线段的中点,所以.      7分
因为,所以.②      9分
由①,②消去,整理得.      11分
所以,   13分
当且仅当时,上式等号成立.
所以的取值范围是.     14分
考点:椭圆几何性质椭圆标准方程不等式

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